27 avqust 1924-cü ildə Gürcüstan Respublikasının Tbilisi şəhərində anadan olub. 1931-1941-ci illərdə Tbilisi şəhərində orta məktəbdə təhsil alıb. 1941-ci ildə Tbilisi Dövlət Universitetinin Fizika-riyaziyyat fakültəsinə daxil olub və 1943-cü ilə kimi təhsilini orada davam etdirib. Böyük Vətən müharibəsi ilə əlaqədar 1943-1945-ci illərdə Sovet ordusu sıralarında xidmət edib. 1948-ci ildən ali təhsilini Bakı Dövlət Universitetinin Fizika fakültəsində davam etdirib və 1950-ci ildə həmin fakültəni bitirib. 1957-ci ildə namizədlik dissertasiyasını müdafiə edərək fizika-riyaziyyat elmləri namizədi elmi dərəcəsini, 1966-cı ildə isə doktorluq dissertasiyasını müdafiə edərək fizika-riyaziyyat elmləri doktoru elmi dərəcəsini alıb. 1967-ci ildə professor elmi adını alıb. 1969-cu ildə AMEA-nın müxbir üzvü, 1980-ci ildə isə həqiqi üzvü seçilib.
Maqsud Əliyev ali məktəbi bitirdikdən sonra Respublikamızın bir çox ali məktəblərində (Azərbaycan Texniki Universiteti (1950-1954), Azərbaycan Neft və Sənaye Universiteti (1954-1957), Bakı Dövlət Universiteti və s.) assistent, baş müəllim, dosent və professor vəzifələrində işləyərək pedaqoji fəaliyyətlə məşğul olub, eyni zamanda AMEA-nın Fizika İnstitutunda fundamental elmi-tədqiqat işləri aparıb. 1961-ci ildən AMEA-nın Fizika İnstitutunda əvvəl böyük elmi işçi, sonra isə “Yarımkeçiricilərdə köçürmə hadisələri” laboratoriyasının müdiri vəzifəsində çalışıb. 1971-ci ildən AMEA-nın Fizika-riyaziyyat və Texnika Elmləri Bölməsinin akademik-katibinin müavini, Fizika İnstitutunda Ümumi sektorun rəhbəri vəzifələrində çalışıb. AMEA-nın “Fizika problemləri” Elmi Şurasının sədr müavini, Rusiya Elmlər Akademiyasının Rəyasət Heyətinin “Yarımkeçiricilər fizikası və kimyası” kompleks problemi və “Yarımkeçirici materialşünaslığının fiziki kimyasının əsasları” üzrə elmi şuralarının üzvü olub.
Maqsud Əliyev klassik yarımkeçiricilər olan selen, germanium, silisium, A3B5 tipli yarımkeçirici birləşmələr və onlar əsasında bərk məhlullarda, evtektikalarda köçürmə hadisələrinin tədqiqi ilə məşğul olub. Onun rəhbərliyi ilə yarımkeçiricilərdə elektron və fonon prosesləri, zolaq quruluşu öyrənilib, bəzi yarımkeçirici-metal evtektikalarında ifratkeçirmə və Cozefson effekti tədqiq olunub. Onun elmi tədqiqatlarında əsas yerlərdən birini yarımkeçiricilərin istilik keçirməsi problemi tutub. “Yarımkeçiricilərin istilikkeçirməsi” adlı kitabı ona böyük şöhrət qazandırıb. Yerli və xarici mətbuatda dərc olunmuş 300-dən artıq elmi məqalənin və 20 ixtiranın müəllifidir. Yarımkeçiricilər fizikası və onun tədris metodikası sahəsində 40-a qədər elmlər namizədi və elmlər doktoru yetişdirib. Ömrünün son illərində Maqsud Əliyev ənənəvi elmi istiqaməti ilə yanaşı çox maraqlı və aktual olan problemlə - dünya şöhrətli məşhur alim Lütfi Zadənin qeyri-səlis çoxluqlar, qeyri-səlis məntiq nəzəriyyəsi ilə də məşğul olub, “Fizika problemləri və qeyri-səlis məntiq” üzrə elmi problemləri inkişaf etdirib.
Yarımkeçiricilər fizikası sahəsində elmə verdiyi töhfələrə, elmi kadrlar hazırlanmasındakı böyük xidmətlərinə və yorulmaz yaradıcılıq fəaliyyətinə görə Maqsud Əliyev bir sıra orden və medallara, həmçinin fəxri adlara layiq görülüb. O, SSRİ Ali Soveti Rəyasət Heyətinin fərmanı ilə “Almaniya üzərində qələbə” medalı (1946), Böyük Vətən müharibəsinin 30 illiyi münasibətilə “Almaniya üzərində qələbə” medalı (1975), Azərbaycan Respublikası Ali Sovetinin Fəxri fərmanı (1984), “Vətən müharibəsi” ordeni (1985), “Xalqlar dostluğu” ordeni (1986), Akademik Y.Məmmədəliyev adına mükafat və medal (1994), AMEA-nın Fəxri fərmanı (1999), “Sülh səfiri” Beynəlxalq diplomu (2003), Azərbaycan Respublikasının Prezidentinin sərəncamı ilə “Şöhrət” ordeni (2004) ilə təltif edilib. 1988-ci ildə Azərbaycan Respublikasının Əməkdar Elm xadimi fəxri adına layiq görülüb. Elmi nailiyyətlərin fəal təbliğatına görə Ümumittifaq “Bilik” Cəmiyyətinin Fəxri Fərmanı ilə təltif olunub. Akademik Maqsud Əliyevin adı “Respublika Əmək Şöhrəti” kitabına salınıb.
Maqsud Əliyev 23 dekabr 2016-cı ildə vəfat edib.